Question

已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．
（1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；
（2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．

Answer

（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当y=48时代入解析式就可以求出其值；
（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值．
（3）由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值．
【解析】
（1）由题意，得
y==-x2+10x，
当y=48时，-x2+10x=48，
解得：x1=12，x2=8，
∴面积为48时，BC的长为12或8；

（2）∵y=-x2+10x，
∴y=-（x-10）2+50，
∴当x=10时，y最大=50；

（3）△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形．理由如下：
由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10
过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，
连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′
则由对称性得：A′B′=A′B，AB′=AB，
∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C，
当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：
△ABC的周长=AB+AC+BC=AB′+AC+BC＞B′C+BC，
当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时△ABC的周长=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC，
因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小；
这时由作法可知：BB′=20，∴B′C==10，∴△ABC的周长=10+10，
因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10+10．