Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；
（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，-m2-2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．
【解析】
（1）由题意可知：
解得：
∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC
∵BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，
∵点A、点B关于对称轴I对称，
∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点
∵AP=BP
∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴AC=3，BC=；
故△PBC周长的最小值为3+．

（3）①∵抛物线y=-x2-2x+3顶点D的坐标为（-1，4）
∵A（-3，0）
∴直线AD的解析式为y=2x+6
∵点E的横坐标为m，
∴E（m，2m+6），F（m，-m2-2m+3）
∴EF=-m2-2m+3-（2m+6）
=-m2-4m-3
∴S=S△DEF+S△AEF
=EF•GH+EF•AG
=EF•AH
=（-m2-4m-3）×2
=-m2-4m-3；
②S=-m2-4m-3
=-（m+2）2+1；
∴当m=-2时，S最大，最大值为1
此时点E的坐标为（-2，2）．