Question

如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3，AB=4，点P是边AB上任意一点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，联结AQ，线段AQ交BC于点D，设AP=x，DQ=y．
（1）求y关于x的函数解析式及定义域；                        
（2）如图2，联结CQ，当△CDQ和△ADB相似时，求x的值；   
（3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边AB上时，求AP的长．

Answer

（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质可求AQ，AD，再根据线段之间的和差关系可得y关于x的函数解析式；
（2）当△CDQ和△ADB相似时，分两种情况：①当∠QCD=∠B时；②当∠QCD=∠QAB时；根据相似三角形的性质可求x的值；
（3）设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，联结QM交BC于点N．可得∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出AP的长．
【解析】
（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．
由题意，可知△APQ是等腰直角三角形，
∴；
易得△CMD∽△CAB，
∴；
设CM=3a，DM=4a，
∴AM=4a，
∴a=，，
∴，
∴．
定义域是：≤x≤4．
（注：其它解法参照评分．）

（2）∵∠CDQ=∠ADB，
∴当△CDQ和△ADB相似时，分以下两种情况：
①当∠QCD=∠B时，
∴CQ∥AB，
四边形CAPQ是正方形；
∴x=AP=AC=3． 
②当∠QCD=∠QAB时，
∴，
由上述（1）的解法，可得，，
∴，
∴；
∴，
解得．
综合①②，当△CDQ和△ADB相似时，x的值为3或．

（3）如图，设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，联结QM交BC于点N．
∴BC⊥QM，QN=MN．
∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，
∴，
设MN=3t，BN=4t，
∴BM=5t；    
∴QM=6t，
∴；
∵BQ=BM=5t，
∴； 
又∵，
∴，
解得；  
∴．