Question

已知⊙O₁与⊙O₂相交于点A、B，AB=8，O₁O₂=2，⊙O₁的半径为5，那么⊙O₂的半径为    ．

Answer

分两种情况考虑：当两圆心O1与O2位于公共弦AB两侧时，如图所示，由AB为两圆的公共弦，可得出两圆心的连线垂直平分AB，由AB的长求出AC的长，Rt△AO1C中，由⊙O1的半径及AC的长，利用勾股定理求出O1C的长，而O1C大于O1O2，矛盾，故此情况不成立；当两圆心O1与O2位于公共弦AB一侧时，如图所示，由AB为两圆的公共弦，可得出两圆心的连线垂直平分AB，由AB的长求出AC的长，Rt△AO1C中，由⊙O1的半径及AC的长，利用勾股定理求出O1C的长，由O1C-O1O2求出O2C的长，在Rt△AO2C中，根据O2C及AC的长，根据勾股定理求出AO2的长，即为⊙O2的半径，综上，得到⊙O2的半径．
【解析】
分两种情况考虑：
当两圆心O1与O2位于公共弦AB两侧时，如图所示：

∵AB为⊙O1与⊙O2的公共弦，
∴O1O2⊥AB，且C为AB的中点，
∵AB=8，∴AC=AB=4，
在Rt△AO1C中，AO1=5，AC=4，
根据勾股定理得：O1C==3，
又O1O2=2＜3=O1C，矛盾；
当两圆心O1与O2位于公共弦AB一侧时，如图所示：

∵AB为⊙O1与⊙O2的公共弦，
∴O1O2⊥AB，且C为AB的中点，
∵AB=8，∴AC=AB=4，
在Rt△AO1C中，AO1=5，AC=4，
根据勾股定理得：O1C==3，
又O1O2=2，∴O2C=O1C-O1O2=3-2=1，
在Rt△AO2C中，O2C=1，AC=4，
根据勾股定理得：AO2==，
综上，⊙O2的半径为．
故答案为：