Question

甲乙都是两位数，将甲的十位数与个位数对调得丙（甲≠丙），将乙的十位数与个位数对调得丁，丙丁的乘积等于甲乙的乘积，而甲乙两数的数字全为偶数，并且数字不能完全相同（如24和42），则甲乙两数之和最大值是多少？

Answer

首先由题意可设甲乙两数分别为：10a+b（且a≠b）和10x+y，即可得丙丁两数分别为：10b+a和10y+x，又由丙丁的乘积等于甲乙的乘积，可得方程：（10a+b）（10x+y）=（10b+a）（10y+x），继而可得ax=by，由a≠b，可得x≠y，又由甲乙两数的数字全为偶数，并且数字不能完全相同，然后分别从①设a，b，x，y中有一对相等，②a，b，x，y中两对相等的情况；③假设a、b、m、n这四个数字都不相等，去分析求解即可求得答案．
【解析】
∵将甲的十位数与个位数对调得丙（甲≠丙），将乙的十位数与个位数对调得丁，
设甲乙两数分别为：10a+b（且a≠b）和10x+y，
∴丙丁两数分别为：10b+a和10y+x，
∵丙丁的乘积等于甲乙的乘积，
∴（10a+b）（10x+y）=（10b+a）（10y+x），
即：100ax+10ay+10bx+by=100by+10bx+10ay+ax，
∴99ax=99by，
即ax=by，
∵a≠b，
∴x≠y，
∵甲乙两数的数字全为偶数，并且数字不能完全相同（如24和42），
∴a≠y，b≠x，
①设a，b，x，y中有一对相等，
∵2，4，6，8中，只有42=2×8，
∴ax=by=4×4=2×8，
当ax=4×4时，即a=m=4，
则两个数分别为42，48，
此时这两数和为90，
当ax=2×8时，
则这两个数为24和84，
此时这两数和为108；
②∵甲乙两数的数字全为偶数，并且数字不能完全相同，
∴a，b，x，y中不存在两对相等的情况；
③假设a、b、m、n这四个数字都不相等，
则a、b、m、n只能为2，4，6，8（数字没有顺序），
∵无论a、b、m、n取2，4，6，8中的哪个数字（不能重合），则ax≠by，
∵这和与知ax=by相矛盾，
∴假设不成立；
综上：甲乙两数之和最大值是108．