Question

用1，2，3，4，5，6，7七个数字组成三个两位数，一个一位数．已知这4个数的各个数位上的数字都不相同，并且4个数的和等于100．如果要求其中最大的两位数尽可能大，那么这个最大的两位数是多少？

Answer

因为有三个两位数，一个一位数，所以这7个数字里有3个数字做了十位数字，4个数字做了个位数字．不妨设这7个数字是a，b，c，d，e，f，g；其中a，b，c做了十位数字，d，e，f，g做了个位数字，先根据4个数的和等于100，得出10a+10b+10c+d+e+f+g=100，则d+e+f+g末尾一定是0，由于1+2+3+4+5+6+7=28，所以d+e+f+g=10或20．分两种情况讨论得出d+e+f+g只能等于20，再分情况讨论可知，做十位数字的是5，2，1，做个位数字的是7，6，4，3，由此得出其中最大的两位数．
【解析】
不妨设这7个数是a，b，c，d，e，f，g；其中a，b，c做了十位数字，d，e，f，g做了个位数字，
那么一定有10a+10b+10c+d+e+f+g=100，
所以d+e+f+g末尾一定是0．
∵1+2+3+4+5+6+7=28，∴d+e+f+g=10或20．
分两种情况：
①当d+e+f+g=10时，
∵1+2+3+4=10，∴这时5，6，7做十位数字，
但是此时50+60+70+1+2+3+4=190≠100，不合题意，舍去；
②当d+e+f+g=20时，再分情况讨论：
Ⅰ）假设用7做十位数字，
∵6+5+4+3=18＜20，∴7只能做个位数字．
Ⅱ）假设用6做十位数字，
∵7+5+4+3=19＜20，∴6也只能做个位数字．
Ⅲ）假设用5做十位数字，
∵7+6+4+3=20，∴此时做十位数字的是5，2，1．
又∵10（5+2+1）+7+6+4+3=100，满足条件，
∴此时做十位数字的是5，2，1，做个位数字的是7，6，4，3．
∵要最大的两位数，∴十位取5，个位取7，
故这个最大的两位数是57．