Question

用十进制表示某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍．求所有这样的自然数之和？

Answer

首先设这个数的位数为n，然后分别从（1）当n=1时，设个位为a，则16a=a，（2）当n=2时，设个位、十位分别为a、b，则16（a+b）=10b+a，（3）当n=3时，设个、十、百位分别为a、b、c，则16（a+b+c）=100c+10b+a，（4）当n=4时，设个、十、百、千位分别为a、b、c、d，则16（a+b+c+d）=1000d+100c+10b+a去分析求解，即可求得答案．
【解析】
设这个数的位数为n，
（1）当n=1时，设个位为a，则16a=a，
解得：a=0；
（2）当n=2时，设个位、十位分别为a、b，则16（a+b）=10b+a，
即6b+15a=0，
∵a是从0到9的整数，b是从1到9的整数，
∴左边大于0，不成立，舍去；
（3）当n=3时，设个、十、百位分别为a、b、c，则16（a+b+c）=100c+10b+a，
即6b+15a=84c，此时有可能成立；
①当c≥3时，6a+15b≥252，
∵a、b的最大值为9，
∴6a+15b≤189，
∴此时无解，舍去．
②当c=2时，6b+15a=168，
∵a、b的最大值为9，
∴容易判断此时只有一组解a=8，b=8，即此时此数为288，
③当c=1时，6b+15a=84，
∴a=2，b=9或a=4，b=4，
也就是说这个分类下有2个数，即144和192；
（4）当n=4时，设个、十、百、千位分别为a、b、c、d，则16（a+b+c+d）=1000d+100c+10b+a，
∵一个n位数中除了最高位是从1到9的数外，其他数位都是从0到9的数，
∴右边最小值为1000，而左边最大值为16×9+9+9+9）＜1000，
∴方程不可能有解．
∴这个数不是4位数；
同理：当n＞4时，无解；
∴符合条件的共有4个数：0，192、144、288．
∴0+192+144+288=624．
答：所有这样的自然数之和是624．