Question

国际数学奥林匹克（IMO）每天考3道题，每题的评分是0，1，2，3，4，5，6，7．有一群学生每人得分的乘积是36，而且任意两人各题不完全相同．那么这群学生最多有多少人？

Answer

先由每题的评分是0，1，2，3，4，5，6，7及这一群学生每人得分的乘积是36，可知每一道题的评分只可能是1，2，3，4，6，而不会有0，5，7，再将36分解成3个数的乘积，然后根据任意两人各题得分不完全相同，即可求解．
【解析】
∵每天考3道题，每题的评分是0，1，2，3，4，5，6，7，有一群学生每人得分的乘积是36，
∴这一群学生每人每题的评分只可能是1，2，3，4，6，而不会有0，5，7，
∵36=22×32，
∴36=1×6×6=2×3×6=3×3×4．
∵任意两人各题的得分不完全相同，
∴得分的乘积是1×6×6的学生可能是第一题得1分，第二题、第三题都得6分；可能是第二题得1分，第一题、第三题都得6分；可能是第三题得1分，第一题、第二题都得6分；一共三种情况，对应三个人；
同理，得分的乘积是2×3×6的学生最多可能有6人；得分的乘积是3×3×4的学生最多可能有3人；
∴这群学生最多有3+6+3=12（人）．
答：这群学生最多有12人．