Question

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（-1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；
（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

Answer

（1）求出半径，根据勾股定理求出C的坐标，设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x-4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；
（2）求出M的坐标，设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（3）根据点的坐标和勾股定理分别求出PC、DC、PD的平方，根据勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°，即可求出答案．
【解析】
（1）∵A（4，0），B（-1，0），
∴AB=5，半径是PC=PB=PA=，
∴OP=-1=，
在△CPO中，由勾股定理得：OC==2，
∴C（0，2），
设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x-4）（x+1），
把C（0，2）代入得：2=a（0-4）（0+1），
∴a=-，
∴y=-（x-4）（x+1）=-x2+x+2，
答：经过A、B、C三点抛物线解析式是y=-x2+x+2．

（2）y=-x2+x+2=-+，
M（，），
设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，
把C（0，2），M（，）代入得：，
解得：k=，b=2，
∴y=x+2，
y=x+2．
答：直线MC对应函数表达式是y=x+2．

（3）MC与⊙P的位置关系是相切．
证明：设直线MC交x轴于D，
当y=0时，0=x+2，
∴x=-，OD=，
∴D（-，0），
在△COD中，由勾股定理得：CD2=22+==，
PC2===，
PD2==，
∴CD2+PC2=PD2，
∴∠PCD=90°，
∴PC⊥DC，
∵PC为半径，
∴MC与⊙P的位置关系是相切．