Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

Answer

（1）本题需先根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值．
（2）本题需先根据EN，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出=，求出a的值，即可得出y关于x的函数关系式，并且能求出函数的定义域．
（3）本题需先设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分①点E在AC上时，根据△AEP∽△ABC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长；②点E在BC上时，根据△EBP∽△ABCC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长．
【解析】

（1）∵∠ACB=90°，
∴AC=，
=，
=40，
∵CP⊥AB，
∴=，
∴=，
∴CP=24，
∴CM=，
=，
=26；

（2）∵，

∴设EP=12a，
则EM=13a，PM=5a，
∵EM=EN，
∴EN=13a，PN=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴=，
∴，
∴x=16a，
∴a=，
∴BP=50-16a，
∴y=50-21a，
=50-21×，
=50-x，
∵当E点与A点重合时，x=0．当E点与C点重合时，x=32．
∴函数的定义域是：（0＜x＜32）；
（3）
①当点E在AC上时，如图2，设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴，
∴，
∴AP=16a，
∴AM=11a，
∴BN=50-16a-5a=50-21a，
∵△AME∽△ENB，
∴，
∴=，
∴a=，
∴AP=16×=22，

②当点E在BC上时，如图（备用图），设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，
∵△EBP∽△ABC，
∴=，
即=，
解得BP=9a，
∴BN=9a-5a=4a，AM=50-9a-5a=50-14a，
∵△AME∽△ENB，
∴，
即=，
解得a=，
∴AP=50-9a=50-9×=42．
所以AP的长为：22或42．