Question

某工厂计划为学校生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1254名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m³，工厂现有库存木料302m³．
（1）有多少种生产方案？
（2）现要把生产的全部桌椅运往学校销售，已知每套A型桌椅售价150元，生产成本100元，运费2元；每套B型桌椅售价200元，生产成本120元，运费4元，求总利润y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总利润最少的方案和最少的总利润．（利润=售价-生产成本-运费）
（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由．

Answer

（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500-x）套，由一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，表示出所需的木料数，根据所需的木料数小于等于302列出不等式，再由A型一桌两椅，B型一桌三椅，计算出提供多少学生的桌椅，大于等于1254列出不等式，两不等式联立组成不等式组，求出不等式组的解集，得到x的范围，由x为正整数，求出x的值，根据x的值有7个得到方案有7种；
（2）由利润=售价-生产成本-运费，分别表示出A型桌椅与B型桌椅每套的利润，由生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500-x）套分别求出A和B的利润，相加表示出总利润y与x的一次函数关系式，由一次函数的比例系数小于0，得到此一次函数为减函数，将x的最大值代入求出对应y的值，即为最少的利润；
（3）由总利润最少时x的值，得到A型桌椅的套数，进而求出B型桌椅的套数，根据一套A型桌椅和一套B型桌椅所需的木料数，计算出用的木料数，用总木料数-用的木料数得到剩余的木料数，剩余的木料数可生产一套A型桌椅与一套B型桌椅，最多给5名学生提供桌椅．
【解析】
（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500-x）套，
由题意列得：，
解得：240≤x≤246，
∵x为整数，∴x的值有7个，分别为：240，241，242，243，244，245，246，
则有7种生产方案；
（2）根据题意得：y=（150-100-2）x+（200-120-4）（500-x）=-28x+38000，
∵-28＜0，
∴一次函数y=-28x+38000为减函数，即y随x的增大而减小，
∴当x=246时，y最小，此时y=-28×246+38000=31112元，
则当生产A型桌椅246套，B型桌椅254套时，总利润y有最小值31112元；
（3）当生产A型桌椅246套，B型桌椅254套时，用的木料为246×0.5+254×0.7=300.8m3，
可得剩余木料为302-300.8=1.2m3，
∵一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，
则生产A型桌椅1套，B型桌椅1套时，最多为5名学生提供桌椅．