Question

如图甲，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点B，直线m垂直AB于点C，交⊙O于P、Q两点．连接AP，过O作OD∥AP交l于点D，连接AD与m交于点M．
（1）如图乙，当直线m过点O时，求证：M是PO的中点；
（2）如图甲，当直线m不过点O时，M是否仍为PC的中点？证明你的结论．

Answer

（1）连接PD，由已知条件证明四边形APDO是平行四边形即可证明M是PO的中点；
（2）M仍为PC的中点，通过证明△APC∽△ODB和△ACM∽△ABD，得到有关的比例式，再证明PC=2MC．
证明：（1）连接PD，
∵AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点B，直线m垂直AB于点C，
∴∠POA=∠DBA=90°，
∵OD∥AP，
∴∠PAO=∠DOB，
又∵AO=BO，
∴△APO≌△ODB，
∴AP=OD，
∴四边形APDO是平行四边形，
∴M是PO中点；

（2）M仍为PC的中点，理由如下：
∵AP∥OD，
∴∠PAO=∠DOB，又∠PCA=∠DBO=90°，
∴△APC∽△ODB，
∴①，
又易证△ACM∽△ABD，
∴，
∵AB=2OB，
∴，
∴②，
由①②得，，
∴即PC=2MC．
M仍为PC的中点．