Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边△OAB
（1）求点B的坐标；
（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；
（3）直线y=x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；
（4）在（3）中，直线OC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得△OCD的面积最大？如果存在，求出点D的坐标和面积的最大值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用点A的坐标为（4，0），△OAB是等边三角形，作高后利用勾股定理可以求出；
（2）题利用顶点式可以求出解析式；
（3）由直线y=与抛物线相交，用x表示出点C的坐标，即可求出；
（4）假设存在这样一个点，用x表示出点D的坐标，即可求出．
【解析】
（1）过点B作BE⊥x轴于点E，
∵△OAB是等边三角形，
∴OE=2，BE=2，
∴点B的坐标为（2，2）；

（2）根据抛物线的对称性可知，点B（2，2）是抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+2，
当x=0时，y=0，
∴0=a（0-2）2+2，
∴a=-，
∴抛物线的解析式为y=-（x-2）2+2，
即：y=-x2+2x；

（3）设点C的横坐标为x，则纵坐标为x，
即点C的坐标为（x，x）代入抛物线的解析式得：x=-x2+2x，
解得：x=0或x=3，
∵点C在第一象限，
∴x=3，
∴点C的坐标为（3，）；

（4）存在．
设点D的坐标为（x，-x2+2x），△OCD的面积为S，
过点D作DF⊥x轴于点F，交OC于点G，则点G的坐标为（x，x），
作CM⊥DF于点M，
则OF+CM=3，DG=-x2+2x-x=-x2+x，
∴S=S△OCD=S△DGO+S△DGC=DG•OF+DG•CM=DG•（OF+CM）=DG×3
=（-x2+x）×3，
∴S=-x2+x=-（x-）2+，
∴△OCD的最大面积为，此时点D的坐标为（，）．