Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求证：直线BE是⊙D的切线；
（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据题意易得点A、B的坐标，然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值；
（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，构建相似三角形△EGD∽△ECB，根据它的对应边成比例得到=，由此求得DG=1（圆的半径是1），则易证得结论；
（3）利用待定系数法求得直线BE为：y=x+．则易求P（1，）．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例，线段间的和差关系得到CN=t，DN=t-1．所以
S=S△PND+S梯形PDCM-S△MNC=-+t（0＜t＜2）．由抛物线的性质可以求得S的最值．
【解析】
（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（-，0），
则，
解得，，
∴该二次函数的解析式为：y=-x2+x+2；

（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．
由题意，得
ED=+1=，EC=2+=，BC=2，
∴BE==．
∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，
∴△EGD∽△ECB，
∴=，
∴DG=1．
∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，
∴BE是⊙D的切线；

（3）由题意，得
E（-，0），B（2，2）．
设直线BE为y=kx+h（k≠0）．则
，
解得，，
∴直线BE为：y=x+．
∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，
∴点P的纵坐标y=，即P（1，）．
∵MN∥BE，
∴∠MNC=∠BEC．
∵∠C=∠C=90°，
∴△MNC∽△BEC，
∴=，
∴=，则CN=t，
∴DN=t-1，
∴S△PND=DN•PD=（t-1）•=t-．
S△MNC=CN•CM=×t•t=t2．
S梯形PDCM=（PD+CM）•CD=•（+t）•1=+t．
∵S=S△PND+S梯形PDCM-S△MNC=-+t（0＜t＜2）．
∵抛物线S=-+t（0＜t＜2）的开口方向向下，
∴S存在最大值．当t=1时，S最大=．