Question

如图，以BC为直径的⊙O₁与⊙O₂外切，⊙O₁与⊙O₂的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O₁的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O₂的面积为π，则四边形ABCD的面积是    ．

Answer

设⊙O1的半径是R，求出⊙O2的半径是1，连接DO2，DO1，O2E，O1H，AO1，作O2F⊥BC于F，推出D、O2、O1三点共线，∠CDO1=30°，求出四边形CFO2E是矩形，推出O2E=CF，CE=FO2，∠FO2O1=∠CDO1=30°，推出R+1=2（R-1），求出R=3，求出DO1，在Rt△CDO1中，由勾股定理求出CD，求出AH==AB，根据梯形面积公式得出×（AB+CD）×BC，代入求出即可．
【解析】
∵⊙O2的面积为π，设⊙O2的半径是r，
则π×r2=π
∴⊙O2的半径是1，
∵AB和AH是⊙O1的切线，
∴AB=AH，
设⊙O1的半径是R，
连接DO2，DO1，O2E，O1H，AO1，作O2F⊥BC于F，
∵⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线DC、DA，∠ADC=60°，
∴D、O2、O1三点共线，∠CDO1=30°，
∴∠DAO1=60°，∠O2EC=∠ECF=∠CFO2=90°，
∴四边形CFO2E是矩形，
∴O2E=CF，CE=FO2，∠FO2O1=∠CDO1=30°，
∴DO2=2O2E=2，∠HAO1=60°，
∵O1O2=2O1F（在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半），
又∵O1F=R-1，O1O2=R+1，
∴R+1=2（R-1），
解得：R=3，
即DO1=2+1+3=6，
在Rt△CDO1中，由勾股定理得：CD=3，
∵∠HO1A=90°-60°=30°，HO1=3，
∴AH==AB，
∴四边形ABCD的面积是：×（AB+CD）×BC=×（+3）×（3+3）=12．
故答案为：12．