Question

已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；
（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

Answer

（1）求得直线y=3x+3与坐标轴的两交点坐标，然后根据OB=OA即可求得点B的坐标，然后利用待定系数法求得经过A、B、C三点的抛物线的解析式即可；
（2）首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后根据CD∥AB得到两直线的k值相等，根据直线CD经过点C求得直线CD的解析式，然后求得直线CD和抛物线的交点坐标即可；
（3）本问关键是求出△ABP的面积表达式．这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标．
【解析】
（1）令y=3x+3=0得：x=-1，
故点C的坐标为（-1，0）；
令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3
故点A的坐标为（0，3）；
∵△OAB是等腰直角三角形．
∴OB=OA=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c，

解得：
∴解析式为：y=-x2+2x+3；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴
解得：
∴直线AB的解析式为：y=-x+3
∵线CD∥AB
∴设直线CD的解析式为y=-x+b
∵经过点C（-1，0），
∴-（-1）+b=0
解得：b=-1，
∴直线CD的解析式为：y=-x-1，
令-x-1=-x2+2x+3，
解得：x=-1，或x=4，
将x=4代入y=-x2+2x+3=-16+2×4+3=-5，
∴点D的坐标为：（4，-5）；

（3）存在．如图1所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，
过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，BN=OB-ON=3-x．
S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB-S△AOB
=（OA+PN）•ON+PN•BN-OA•OB
=（3+y）•x+y•（3-x）-×3×3
=（x+y）-，
∵P（x，y）在抛物线上，∴y=-x2+2x+3，代入上式得：
S△ABP=（x+y）-=-（x2-3x）=-（x-）2+，
∴当x=时，S△ABP取得最大值．
当x=时，y=-x2+2x+3=，
∴P（，）．
所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；
P点的坐标为（，）．