Question

某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝．其半圆形桥洞的横截面如图所示．已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i=1：3.7，桥下水深=5米．水面宽度CD=24米．设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上．求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．（参考数据：π≈3，≈1.7，tan15°=）

Answer

首先明确从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长应为如图ME++FN，连接如图，把实际问题转化为直角三角形问题，由已知求出OD即半径，再由坡度i=1：3.7和tan15°==1：3.7，得出∠M=∠N=15°，因此能求出ME和FN，所以求出∠EOM=∠FON=90°-15°=75°，则得出所对的圆心角∠EOF，相继求出弧EF的长，从而求出从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．
【解析】
连接FO、EO、DO，
已知CD=24，0P=5，∴PD=12，
∴OD2=OP2+PD2=52+122=169，
∴OD=13，则OE=OF=13，
已知坡度i=1：3.7和tan15°==1：3.7，
∴∠M=∠N=15°，
∴cot15°==2+，
∵上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，
∴tan∠M=，
∴ME=FN==13×（2+）=26+13，
∠EOM=∠FON=90°-15°=75°，
∴∠EOF=180°-75°-75°=30°，
∴==π，
∴ME++FN=26+13+π+26+13≈102.7．
答：从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长为102.7米．