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如图,从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC,切点分别为B、C,且⊙O的直经BD=...

如图,从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC,切点分别为B、C,且⊙O的直经BD=6,连接CD、AO、BC,且AO与BC相交于点E.
(1)求证:CD∥AO;
(2)设CD=x,AO=y,求y与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(3)请阅读下方资源链接内容.在(2)的基础上,若CD、AO的长分别为一元二次方程x2-(4m+1)x+4m2+2=0的两个实数根,求AB的长.

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(1)连接OC,由AB与AC都为圆的切线,根据切线的性质AC垂直于OC,AB与OB垂直,根据垂直的定义得到两个角为直角,在直角三角形ACO与直角三角形ABO中,由OC=OB,OA为公共边,利用HL得出三角形ACO与三角形ABO全等,根据全等三角形的对应边及对应角相等得到AB=AC,∠1=∠2,根据三线合一得到AO与BC垂直,又BD为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角,得到CD与BC垂直,可得出DC与AO都与BC垂直,则AO平行于CD,得证; (2)由第一问得到CD与AO平行,根据两直线平行同位角相等可得出∠3=∠4,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似,可得出三角形BDC与三角形ABO相似,根据相似得比例,将各自的边长代入即可得出y与x的关系式,并根据直径为6,圆中的弦长小于等于直径可得出x的取值范围; (3)由CD、AO的长分别为一元二次方程x2-(4m+1)x+4m2+2=0的两个实数根,根据根与系数的关系表示出xy,根据第二问得出的y与x的关系式得到xy=18,列出关于m的方程,求出方程的解得到m的值,将m的值代入原方程,求出方程的解,可得出CD及AO的值,由CD=OB得出OB的长,在直角三角形ABO中,由AO及OB的长,利用勾股定理即可求出AB的长. 【解析】 (1)连接OC,…(1分) ∵AB、AC是⊙O的切线, ∴∠ACO=∠ABO=90°, 在Rt△ACO和Rt△ABO中, , ∴Rt△ACO≌Rt△ABO(HL), ∴AB=AC,∠1=∠2, ∴AO⊥BC, ∴∠AEC=90°,…(2分) ∵BD是⊙O的直径,∴∠DCB=90°, ∴∠DCB=∠AEC, ∴CD∥AO;…(3分) (2)∵CD∥AO,∴∠3=∠4, ∵AB是⊙O的切线,DB是直径, ∴∠DCB=∠ABO=90°, ∴△BDC∽△AOB,…(4分) ∴=,即=, ∴y=,…(5分) 且自变量x的取值范围为0<x<6;…(6分) (3)∵CD、AO的长分别为一元二次方程x2-(4m+1)x+4m2+2=0的两个实数根, ∴x•y=4m2+2,…(7分) 又由(2)知y=, ∴xy=18, ∴4m2+2=18, ∴m=±2,…(8分) ①当m=2时,原方程可化为x2-9x+18=0,∴x=3或6; 由(2)知x<6,∴只能取x=3, ∴CD=3,AO=6, 在Rt△AOB中,AO=6,OB=3, ∴AB==3;…(9分) ②当m=-2时,原方程可化为x2+7x+18=0, ∵△=72-4×1÷18<0,∴方程无解,…(10分) 综上,AB的长为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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