Question

如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O的直经BD=6，连接CD、AO、BC，且AO与BC相交于点E．
（1）求证：CD∥AO；
（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）请阅读下方资源链接内容．在（2）的基础上，若CD、AO的长分别为一元二次方程x²-（4m+1）x+4m²+2=0的两个实数根，求AB的长．

Answer

（1）连接OC，由AB与AC都为圆的切线，根据切线的性质AC垂直于OC，AB与OB垂直，根据垂直的定义得到两个角为直角，在直角三角形ACO与直角三角形ABO中，由OC=OB，OA为公共边，利用HL得出三角形ACO与三角形ABO全等，根据全等三角形的对应边及对应角相等得到AB=AC，∠1=∠2，根据三线合一得到AO与BC垂直，又BD为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到CD与BC垂直，可得出DC与AO都与BC垂直，则AO平行于CD，得证；
（2）由第一问得到CD与AO平行，根据两直线平行同位角相等可得出∠3=∠4，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形BDC与三角形ABO相似，根据相似得比例，将各自的边长代入即可得出y与x的关系式，并根据直径为6，圆中的弦长小于等于直径可得出x的取值范围；
（3）由CD、AO的长分别为一元二次方程x2-（4m+1）x+4m2+2=0的两个实数根，根据根与系数的关系表示出xy，根据第二问得出的y与x的关系式得到xy=18，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，将m的值代入原方程，求出方程的解，可得出CD及AO的值，由CD=OB得出OB的长，在直角三角形ABO中，由AO及OB的长，利用勾股定理即可求出AB的长．
【解析】
（1）连接OC，…（1分）
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
在Rt△ACO和Rt△ABO中，
，
∴Rt△ACO≌Rt△ABO（HL），
∴AB=AC，∠1=∠2，
∴AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，…（2分）
∵BD是⊙O的直径，∴∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠AEC，
∴CD∥AO；…（3分）

（2）∵CD∥AO，∴∠3=∠4，
∵AB是⊙O的切线，DB是直径，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∴△BDC∽△AOB，…（4分）
∴=，即=，
∴y=，…（5分）
且自变量x的取值范围为0＜x＜6；…（6分）

（3）∵CD、AO的长分别为一元二次方程x2-（4m+1）x+4m2+2=0的两个实数根，
∴x•y=4m2+2，…（7分）
又由（2）知y=，
∴xy=18，
∴4m2+2=18，
∴m=±2，…（8分）
①当m=2时，原方程可化为x2-9x+18=0，∴x=3或6；
由（2）知x＜6，∴只能取x=3，
∴CD=3，AO=6，
在Rt△AOB中，AO=6，OB=3，
∴AB==3；…（9分）
②当m=-2时，原方程可化为x2+7x+18=0，
∵△=72-4×1÷18＜0，∴方程无解，…（10分）
综上，AB的长为．