Question

去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）．两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）．
（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？
（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

Answer

（1）为了使所修水泵站的所用输水管道最短，利用轴对称的方法画图可求；
（2）所求点要满足两个条件，到张村和李村的距离相等，可以作连接两村线段的垂直平分线，与x轴的交点即为所求．
【解析】
（1）作点B关于x轴的对称点E，连接AE，则点E为（12，-7）
设直线AE的函数关系式为y=kx+b（k≠0），则

解得，
当y=0时，x=5．
所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短．

（2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴于点G
设点G的坐标为（x，0）
在Rt△AGD中，AG2=AD2+DG2=32+（x-2）2
在Rt△BCG中，BG2=BC2+GC2=72+（12-x）2
∵AG=BG，
∴32+（x-2）2=72+（12-x）2
解得x=9．
所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．