Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，-1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．
（3）在（2）的基础上，设直线x=t（0＜t＜10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．

Answer

（1）利用顶点式写出二次函数解析式，进而得出a的值，得出解析式即可；
（2）首先得出△AOB∽△CDA，进而得出y与x之间的函数关系，即可得出点C的坐标，根据PH=（OB+CD）求出P点坐标即可；
（3）首先设点N的坐标为（t，-t2+t-1），得出，求出直线BC的解析式，进而表示出M点坐标，即可得出△BCN与t的函数关系式，求出最值即可．
【解析】
（1）∵抛物线的顶点是A（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
由抛物线过B（0，-1）得：4a=-1，
∴，
∴抛物线的解析式为．
即．

（2）如图1，设C的坐标为（x，y）．
∵A在以BC为直径的圆上．∴∠BAC=90°．
作CD⊥x轴于D，连接AB、AC．
∵∠OAB+∠DAC=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
∵∠BOA=∠ADC=90°，
∴△AOB∽△CDA，
∴
∴OB•CD=OA•AD．
即1•|y|=2（x-2）．∴|y|=2x-4．
∵点C在第四象限．
∴y=-2x+4，
由，
解得，．
∵点C在对称轴右侧的抛物线上．
∴点C的坐标为 （10，-16），
∵P为圆心，∴P为BC中点．
取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．
∴PH=（OB+CD）=．
∵D（10，0）∴H（5，0）
∴P （5，-）．
故点P坐标为（5，-）．

（3）如图2，设点N的坐标为（t，-t2+t-1），直线x=t（0＜t＜10）与直线BC交于点M．
，，
所以，
设直线BC的解析式为y=kx+b，直线BC经过B（0，-1）、C （10，-16），
所以成立，
解得：，
所以直线BC的解析式为，则点M的坐标为（t，-t-1），
MN==，
，
=
=，
所以，当t=5时，S△BCN有最大值，最大值是．