Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．
（1）求抛物线y=x²+bx+c与直线y=kx的解析式；
（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．

Answer

（1）将A，B两点分别代入y=x2+bx+c进而求出解析式即可；
（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM=CE，得出等式方程求出即可；
（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．
【解析】
（1）∵y=x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，）
∴由此得 ，
解得．
∴抛物线的解析式是y=x2-x+，
∵直线y=kx-经过点A（2，0）
∴2k-=0，
解得：k=，
∴直线的解析式是 y=x-，

（2）设P的坐标是（x，x2-x+），则M的坐标是（x，x-）
∴PM=（x2-x+）-（x-）=-x2-x+4，
解方程 得：，，
∵点D在第三象限，则点D的坐标是（-8，-7），由y=x-得点C的坐标是（0，-），
∴CE=--（-7）=6，
由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即-x2-x+4=6
解这个方程得：x1=-2，x2=-4，
符合-8＜x＜2，
当x=-2时，y=-×（-2）2-×（-2）+=3，
当x=-4时，y=-×（-4）2-×（-4）+=，
因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（-2，3）和（-4，）；

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6  由勾股定理得：DC=
∴△CDE的周长是24，
∵PM∥y轴，
∵∠PMN=∠DCE，
∵∠PNM=∠DEC，
∴△PMN∽△CDE，
∴=，即=，
化简整理得：l与x的函数关系式是：l=-x2-x+，
l=-x2-x+=-（x+3）2+15，
∵-＜0，
∴l有最大值，
当x=-3时，l的最大值是15．