Question

如图，抛物线m：y=ax²+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C₁，与x轴的另一个交点为A₁．若四边形AC₁A₁C为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ）

A．ab=-2
B．ab=-3
C．ab=-4
D．ab=-5

Answer

假设a=-1，b=1得出抛物线m的解析式，再利用C与C1关于点B中心对称，得出二次函数的顶点坐标，利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，即可求出．
【解析】
假设a=-1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=-x2+1．
令x=0，得：y=1．∴C（0，1）．
令y=0，得：x=±1．
∴A（-1，0），B（1，0），
∵C与C1关于点B中心对称，
∴抛物线n的解析式为：y=（x-2）2-1=x2-4x+3；
令x=0，得：y=b．∴C（0，b）．
令y=0，得：ax2+b=0，∴x=±，∴A（-，0），B（，0），
∴AB=2，BC==．
要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，
∴2=．∴4×（-）=b2-，
∴ab=-3．
∴a，b应满足关系式ab=-3．
故选B．