Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y=（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为G，连接OD．已知△AOB≌△ACD．
（1）如果b=-2，求k的值；
（2）试探究k与b的数量关系，并写出直线OD的解析式．

Answer

（1）首先求出直线y=2x-2与坐标轴交点的坐标，然后由△AOB≌△ACD得到CD=OB，AO=AC，即可求出D坐标，由点D在双曲线y=（ x＞0）的图象上求出k的值；
（2）首先直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（-，0），B（0，b），再根据△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐标，把D点坐标代入反比例函数解析式求出k和b之间的关系，进而也可以求出直线OD的解析式．
【解析】
（1）当b=-2时，
直线y=2x-2与坐标轴交点的坐标为A（1，0），B（0，-2）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=OB，AO=AC，
∴点D的坐标为（2，2）．
∵点D在双曲线y=（ x＞0）的图象上，
∴k=2×2=4．

（2）直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（-，0），B（0，b）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=OB，AO=AC，
∴点D的坐标为（-b，-b）．
∵点D在双曲线y=（ x＞0）的图象上，
∴k=（-b）•（-b）=b2．
即k与b的数量关系为：k=b2．
直线OD的解析式为：y=x．