Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax²+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

Answer

（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）根据（1）中解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案；
（3）分别根据当△ABC1∽△AOM以及当△C2AB∽△AOM时，利用相似三角形的性质求出C点坐标即可．
【解析】
（1）过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠AOE=30°，
∴AE=1，EO=，
∴A点坐标为：（-1，），B点坐标为：（2，0），
将两点代入y=ax2+bx得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x2-x；

（2）过点M作MF⊥OB于点F，
∵y=x2-x=（x2-2x）=（x2-2x+1-1）=（x-1）2-，
∴M点坐标为：（1，-），
∴tan∠FOM==，
∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°；

（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°，
∴∠ABO=∠OAB=30°，
∴AB=2EO=2，
当△ABC1∽△AOM，
∴=，
∵MO==，
∴=，
解得：BC1=2，∴OC1=4，
∴C1的坐标为：（4，0）；
当△C2AB∽△AOM，
∴=，
∴=，
解得：BC2=6，∴OC2=8，
∴C2的坐标为：（8，0）．
综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．