Question

把两个直角边长分别为3、4与9、12的Rt△ADE和Rt△ABC按照如图所示的位置放置，已知DE=4，AC=12，且E，A，C三点在同一直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC，则△EMC与△DAB面积的比值为（ ）

A．1
B．
C．
D．

Answer

过D作DF⊥BC于F，取EC的中点N，连接MN，得出四边形DECF是矩形，求出DF=EC=15，CF=DE=4，求出AB=15，AD=5，BD=5，求出∠DAB=90°，求出△DAB的面积是×AD×AB=×5×15，根据梯形中位线得出MN∥DE，MN=（DE+BC）=，推出MN⊥EC，求出△MEC的面积是×EC×MN=，代入求出即可．
【解析】

过D作DF⊥BC于F，取EC的中点N，连接MN，
∵∠DEA=∠BCE=∠DFC=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF=EC=3+12=15，CF=DE=4，
∴BF=9-4=5，
在Rt△BAC中，BC=9，AC=12，由勾股定理得：AB=15，
同理AD=5，
在Rt△DFB中，DF=15，BF=5，由勾股定理得BD=5，
∵AD=5，AB=15，
∴AD2+AB2=25+225=250，BD2=250，
∴AD2+AB2=BD2，
∴∠DAB=90°，
即△DAB的面积是×AD×AB=×5×15，
∵∠DEA=∠BCE=90°，
∴DE∥BC，
∵M为BD中点，N为EC中点，
∴MN∥DE，MN=（DE+BC）=×（4+9）=，
∴MN⊥EC，
∴△MEC的面积是×EC×MN=×（3+12）×=，
∴△EMC与△DAB面积的比是（×5×15）：=13：10，
故选B．