Question

已知线段a和直角∠α：
（1）用尺规作△ABC，使得∠C=∠α，BC=a，AB=2a（保留作图痕迹，不写画法）；
（2）用尺规作△ABC的中线CD和角平分线CE（保留作图痕迹，不写画法）；
（3）求出∠DCE的度数．

Answer

（1）延长线段a得到2a长的线段，然后作一直角，在一边上截取CB=a，然后以点B为圆心，以2a长为半径画弧，与另一直角边相交于点A，连接AB，则△ABC即为所求作的三角形；
（2）以点B为圆心，以a为半径画弧交AB于点D，则点D为AB的中点，然后连接CD即为中线，以点C为圆心，以任意长为半径画弧，与BC、AC分别相交，再以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点C与这一点作射线交AB于点E，则CE为所求作的角平分线；
（3）根据角平分线的定义可得∠ACE=45°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠A=30°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，根据等边对等角的性质可得∠ACD=30°，再根据∠DCE=∠ACE-∠ACD计算即可得解．
【解析】
（1）如图所示，△ABC即为所求作的三角形，
[评分标准：∠C（1分）；线段BC=a，AB=2a（2分）（各1分）]；

（2）如图所示，CD为即为所求作的中线，CE即为所求作的角平分线；
[评分标准：中线（1分）；角平分线（1分）]；

（3）∵CE是角平分线，
∴∠ACE=×90°=45°，
∵AB=2a，BC=a，∠C=90°，
∴∠A=30°，
∵CD是中线，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=45°-30°=15°．