Question

半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．
（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．
①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是______；
②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；
（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．

Answer

（1）①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出∠EBA的度数即可；
②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=，进而求出OA即可；
（2）设∠MON=n°，得出S扇形MON=×22=n进而利用函数增减性分析①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，②当MN=DC=2时，MN最小，分别求出即可．
【解析】
（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，
∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，
∴∠EBA的度数是：30°；

②如图2，
∵直线l与⊙O相切于点F，
∴∠OFD=90°，
∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，
∴OF∥AD，
∵OF=AD=2，
∴四边形OFDA为平行四边形，
∵∠OFD=90°，
∴平行四边形OFDA为矩形，
∴DA⊥AO，
∵正方形ABCD中，DA⊥AB，
∴O，A，B三点在同一条直线上；
∴EA⊥OB，
∵∠OEB=∠AOE，
∴△EOA∽△BOE，
∴=，
∴OE2=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=-1±，
∵OA＞0，∴OA=-1；
方法二：
在Rt△OAE中，cos∠EOA==，
在Rt△EOB中，cos∠EOB==，
∴=，
解得：OA=-1±，
∵OA＞0，∴OA=-1；
方法三：
∵OE⊥EB，EA⊥OB，
∴由射影定理，得OE2=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=-1±，
∵OA＞0，
∴OA=-1；

（2）如图3，设∠MON=n°，S扇形MON=×22=n（cm2），
S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，
当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，
过O点作OK⊥MN于K，
∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，
在Rt△ONK中，sin∠NOK==，
∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，
∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，
①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，
∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π（cm2），
②当MN=DC=2时，MN最小，
∴ON=MN=OM，
∴∠NOM=60°，
S扇形MON最小=π（cm2），
∴π≤S扇形MON≤π．
故答案为：30°．