Question

在平面直角坐标系中，已知M₁（3，2），N₁（5，-1），线段M₁N₁平移至线段MN处（注：M₁与M，N₁与N分别为对应点）．
（1）若M（-2，5），请直接写出N点坐标．
（2）在（1）问的条件下，点N在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式．
（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值．
（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时BP的长度．

Answer

（1）首先根据点M的移动方向和单位得到点N的平移方向和单位，然后按照平移方向和单位进行移动即可；
（2）将点N的坐标代入函数的解析式即可求得k值；
（3）配方后确定点B、A、E的坐标，根据CO：OF=2：用m表示出线段CO、FO和BF的长，利用S△BEC=S△EBF+S△BFC=得到有关m的方程求得m的值即可；
（4）分当∠BPE＞∠APE时、当∠BPE=∠APE时、当∠BPE＜∠APE时三种情况分类讨论即可．
【解析】
（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，
由点M到点M′可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，
故点N′的坐标为（5-5，-1+3），即（0，2）．
N（0，2）；

（2）∵N（0，2）在抛物线y=x2+x+k上
∴k=2
∴抛物线的解析式为y=x2+x+2     

（3）∵y=x2+x+2=（x+2）2
∴B（-2，0）、A（0，2）、E（-，1）
∵CO：OF=2：
∴CO=-m，FO=-m，BF=2+m
∵S△BEC=S△EBF+S△BFC=
∴（2+m）（-m+1）=
整理得：m2+m=0
∴m=-1或0                        
∵m＜0
∴m=-1                   

（4）在Rt△ABO中，tan∠ABO===
∴∠ABO=30°，AB=2AO=4
①当∠BPE＞∠APE时，连接A1B则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分．
∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP
∵S△EHP=S△ABP
∴=S△EHP=S△BHP=S△ABP
∴A1H=HP，EH=HB=1
∴四边形A1BPE为平行四边形
∴BP=A1E=AE=2
即BP=2                                                     
②当∠BPE=∠APE时，重叠部分面积为△ABP面积的一半，不符合题意；
③当∠BPE＜∠APE时．
则对折后如图3，A1为对折后A的所落点．△EHP是重叠部分
∵E为AB中点，
∴S△AEP=S△BEP=S△ABP
∵S△EHP=S△ABP∴S△EBH=S△EHP==S△ABP
∴BH=HP，EH=HA1=1
又∵BE=EA=2
∴EHAP，
∴AP=2
在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．
∴∠APB=90°，
∴BP=，
综合①②③知：BP=2或；