Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为的等边△ABC随着顶点A在抛物线上运动而运动，且始终有BC∥x轴．
（1）当顶点A运动至与原点重合时，顶点C是否在该抛物线上？
（2）△ABC在运动过程中有可能被x轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为1：8（即S_上部分：S_下部分=1：8）时，求顶点A的坐标；
（3）△ABC在运动过程中，当顶点B落在坐标轴上时，直接写出顶点C的坐标．

Answer

（1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与y轴交于点D，如图所示．由等边三角形的性质可以求出AD的值，从而求出C的坐标．
（2）过点A作AD⊥BC于点D，设出A点的坐标，由条件表示出AD的值，再由三角函数求出AD的值，从而建立等量关系就可以求出A的坐标．
（3）B点在坐标轴上有两种情况如图，当B点在x轴上时，则A的纵坐标为3，代入抛物线的解析式求出A的横坐标就可以求出C的坐标；当B点y轴上时，可以求出A点的横坐标，代入抛物线的解析式可以求出A点的纵坐标，从而求出C点的坐标．
【解析】
（1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与
y轴交于点D，如图所示．
∵BC∥x轴，BC=AC=，
∴，AD=3．
∴C点的坐标为． 

∵当时，．
∴当顶点A运动至与原点重合时，顶点C在抛物线上．

（2）过点A作AD⊥BC于点D，
设点A的坐标为（x，）．
∵BC∥x轴，
∴x轴上部分的三角形∽△ABC．
∵S上部分：S下部分=1：8，
∴S上部分：S△ABC=1：9，
∴．
∵等边△ABC的边长为，
∴AD=AC•sin60°=3．
∴．
∴．
解方程，得 x=．
∴顶点A的坐标为或．

（3）当顶点B落在x轴时，则A点纵坐标为3，
∴3=，
∴x=或．
∴顶点C的坐标为（2-，0）、（2+，0）、
当顶点B落在y轴时，则A点横坐标为，
∴y==-3，
∴顶点C的坐标为（2，-6），
∴顶点C的坐标为、、．