Question

如图，在矩形ABCD中，对角线AC=10，点B到AC的距离为4，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG⊥AC交CD边于G，连接HG．
（1）求∠ACB的正切值；
（2）设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S，若点E的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）当t取何值时，以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切？

Answer

（1）过点B作BM⊥AC于点M，根据两角对应相等的两三角形相似得出△AMB∽△BMC，由相似三角形对应边成比例得出BM：MC=AM：BM，即BM2=AM•MC，设MC=x，列出方程，解方程求出x的值，根据三角函数的定义即可求出∠ACB的正切值；
（2）分三种情况讨论：①点H在直角边AD上；②点H在直角边CD上，且H在G的左边；③点H在直角边CD上，且H在G的右边．先用含t的代数式分别表示HE，GF，EF，再利用梯形的面积公式S=（GF+HE）•EF，即可求解；
（3）以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切时，根据两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，得出EH+FG=EF．再分三种情况讨论：①点H在直角边AD上；②点H在直角边CD上，且H在G的左边；③点H在直角边CD上，且H在G的右边．先用含t的代数式分别表示HE，GF，EF，再根据EH+FG=EF列出方程，解方程即可．
【解析】
（1）过点B作BM⊥AC于点M，则BM=4，
由题意可得，∠ACB=∠ABM=90°-∠CBM，
又∵∠AMB=∠BMC=90°，
∴△AMB∽△BMC，
∴BM：MC=AM：BM，即BM2=AM•MC，
设MC=x，则AM=10-x，
∴42=x（10-x），
解得x=2或x=8（不合题意，舍去）．
∴tan∠ACB===2；

（2）①当点H在直角边AD上时，如原题图．
由题意知，AE=CF=t，EF=10-2t，
在Rt△AHE中，tan∠DAC=tan∠ACB==2，
∴HE=2t，同理 GF=t，
∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=（t+2t）（10-2t）=-t2+t，
即S=-t2+t（0＜t≤2）；
②当点H在直角边CD上，且H在G的左边时，如备用图1．
由题意得，AE=CF=t，EF=10-2t，EC=10-t，HE=（10-t），GF=t，
∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=[（10-t）+t]（10-2t）=25-5t，
即S=25-5t（2＜t＜5）；
③当点H在直角边CD上，且H在G的右边时，如备用图2．
由题意得，AE=CF=t，EF=2t-10，EC=10-t，HE=（10-t），GF=t，
∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=[（10-t）+t]（2t-10）=5t-25，
即 S=5t-25（5＜t≤8）；

（3）设以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切，
那么应满足EH+FG=EF．
①当点H在直角边AD上时，
∵HE=2t，GF=t，EF=10-2t，
∴2t+t=10-2t，解得t=．
∵0＜t≤2，∴t=不合题意，舍去；
②当点H在直角边CD上，且H在G左边时，
∵HE=（10-t），GF=t，EF=10-2t，
∴（10-t）+t=10-2t，
解得t=，符合题意；
③当点H在直角边AD上，且H在G右边时，
∵HE=（10-t），GF=t，EF=2t-10，
∴（10-t）+t=2t-10，
解得t=，符合题意；
综上，可知当t=或时，以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切．