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如图已知P为⊙O外一点,PA为⊙O的切线,B为⊙O上一点,且PA=PB,C为优弧manfen5.com 满分网上任意一点(不与A、B重合),连接OP、AB,AB与OP相交于点D,连接AC、BC.
(1)求证:PB为⊙O的切线;
(2)若tan∠BCA=manfen5.com 满分网,⊙O的半径为manfen5.com 满分网,求弦AB的长.

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(1)连接OA,OB,根据AP为圆O的切线,利用切线的性质得到∠OAP为直角,由半径OA=OB,已知AP=BP,以及公共边OP,利用SSS得出△OAP≌△OBP,利用全等三角形的对应角相等得到∠OBP为直角,即BP垂直于OB,可得出BP为圆O的切线; (2)延长BO与圆交于点E,连接AE,利用同弧所对的圆周角相等得到∠AEB=∠ACB,可得出tan∠AEB的值,由BE为圆O的直径,利用直径所对的圆周角为直角,得到∠BAE为直角,在直角三角形AEB中,设AB=2x,得到AE=3x,再由直径BE的长,利用勾股定理得到关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即可求出弦AB的长. (1)证明:连接OA,OB,如图所示: ∵AP为圆O的切线, ∴∠OAP=90°, 在△OAP和△OBP中, , ∴△OAP≌△OBP(SSS), ∴∠OAP=∠OBP=90°, 则BP为圆O的切线; (2)【解析】 延长线段BO,与圆O交于E点,连接AE, ∵BE为圆O的直径,∴∠BAE=90°, ∵∠AEB和∠ACB都对, ∴∠AEB=∠ACB, ∴tan∠AEB=tan∠ACB=, 设AB=2x,则AE=3x, 在Rt△AEB中,BE=2, 根据勾股定理得:(2x)2+(3x)2=(2)2, 解得:x=2或x=-2(舍去), 则AB=2x=4.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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