Question

在△ABC中，已知∠BAC=45°，高线CD与高线AE相交于点H，连接DE．
（1）如图1，△ABC为锐角三角形时，求证：AE-CE=DE；
（2）如图2，在（1）的条件下，作∠AEC的平分线交AC于点F，连接DF交AE于点G，若BD=CF，AE=6，求GH的长．

Answer

（1）过点D作DN⊥DE交AE于点N，易证得△ADN≌△CDE，由全等三角形的对应边相等，可得CE=AN，DE=DN，即可得△DEN是等腰直角三角形，则可证得AE-CE=DE；
（2）易证得△DBE∽△CFE，根据相似三角形的对应边成比例，可得DE=EC，设EC=x，则DE=x，由（1）结论可得：6-x=2x，则可求得DE等线段的长度，又由△ADH≌△CDB，可求得DH与CA的长，然后过F做FM∥AE交CD于点M，由相似三角形的对应边成比例，即可求得GH的长．
【解析】
（1）过点D作DN⊥DE交AE于点N．
∵CD⊥AD，∠BAC=45°，
∴∠ACD=45°，
∴AD=CD．
∵∠ADN+∠NDC=∠ADC=90°=∠NDC+∠EDC，
∴∠ADN=∠EDC，
∵高线CD与高线AE相交于点H，
∴∠DAH+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，
∴∠DAH=∠DCB，
在△ADN和△CDE中，
，
∴△ADN≌△CDE（ASA），
∴CE=AN，DE=DN，
∴∠DEN=45°，EN=DE，
∴AE-EC=AE-AN=EN=DE；

（2）由（1）可得：∠BED=45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，EF平分∠AEC，
∴∠CEF=45°，
∴∠CEF=∠BED，∠CFE=180°-∠CEF-∠ACB=180°-45°-∠ACB，
∵∠BAC=45°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-45°-∠ACB，
∴∠B=∠CFE，
∴△DBE∽△CFE，
∴，
∵BD=CF，
∴DE=EC，
设EC=x，则DE=x，
由（1）结论可得：6-x=2x，
解得：x=2，
∴EC=2，DE=2，
过D作DK⊥BC于K，
∵∠DEB=45°，
∴DK=EK=DE=2，
∴CK=EK+EC=4，
∴tan∠DCK===，CD==2，
∴BD=CD=，BC=5，
∴CF=，
∵AE∥DK，EK=EC，
∴EH=DK=1，CH=CD=，
∴AH=AE-EH=5，
∴AH=BC，
由（1）得：∠DAH=∠DCB，AD=BC，
在△ADH和△CDB中，
，
∴△ADH≌△CDB（SAS），
∴DH=BD=，CA==2，
过F做FM∥AE交CD于点M，
则△CFM∽△CAH，
∴=，
∴FM=，CM=，MH=，
又∵GH∥FM，
∴△DHG∽△DMF，
∴，
即，
∴GH=．