Question

如图，经过原点的抛物线y=-x²+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．
（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？
（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△ACH∽△PCB，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；
（3）存在，本题要分当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1和当0＜m＜1时，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标．
【解析】
（1）当m=3时，y=-x2+6x
令y=0得-x2+6x=0
∴x1=0，x2=6，
∴A（6，0）
当x=1时，y=5
∴B（1，5）
∵抛物线y=-x2+6x的对称轴为直线x=3
又∵B，C关于对称轴对称
∴BC=4．

（2）连接AC，过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）
由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°
∴△ACH∽△PCB，
∴，
∵抛物线y=-x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，
又∵B，C关于对称轴对称，
∴BC=2（m-1），
∵B（1，2m-1），P（1，m），
∴BP=m-1，
又∵A（2m，0），C（2m-1，2m-1），
∴H（2m-1，0），
∴AH=1，CH=2m-1，
∴，
∴m=．

（3）∵B，C不重合，∴m≠1，
（I）当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m-1，
（i）若点E在x轴上（如图1），
∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP，
在△BPC和△MEP中，
，
∴△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（m-1）=m，
∴m=2，此时点E的坐标是（2，0）；
（ii）若点E在y轴上（如图2），
过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴m-1=1，
∴m=2，
此时点E的坐标是（0，4）；
（II）当0＜m＜1时，BC=2（1-m），PM=m，BP=1-m，
（i）若点E在x轴上（如图3），
易证△BPC≌△MEP，
∴BC=PM，
∴2（1-m）=m，
∴m=，此时点E的坐标是（，0）；
（ii）若点E在y轴上（如图4），
过点P作PN⊥y轴于点N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴1-m=1，∴m=0（舍去），
综上所述，当m=2时，点E的坐标是（2，0）或（0，4），
当m=时，点E的坐标是（，0）．