Question

在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．
①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B²+BE′²，并求出使A′B²+BE′²取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．

Answer

（Ⅰ）根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到=，则易求OE=1，所以E（0，1）；
（Ⅱ）如图②，连接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2-m）2+42=m2-4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则
A′B2+BE′2=2m2-4m+29=2（m-1）2+27．所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是（1，1）时，A′B2+BE′2取得最小值．
【解析】
（Ⅰ）如图①，∵点A（-2，0），点B（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，
∴△OAE∽△OBA，
∴=，即=，
解得OE=1，
∴点E的坐标为（0，1）；

（Ⅱ）①如图②，连接EE′．
由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2-m．
在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2-m）2+42=m2-4m+20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=m．
又∵BE=OB-OE=3，
∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，
∴A′B2+BE′2=2m2-4m+29=2（m-1）2+27．
当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．

②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．
易证△AB′A′≌△EBE′，
∴B′A′=BE′，
∴A′B+BE′=A′B+B′A′．
当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．
易证△AB′A′∽△OBA′，
∴==，
∴AA′=×2=，
∴EE′=AA′=，
∴点E′的坐标是（，1）．