Question

如图，反比例函数y₁的图象与一次函数y₂的图象交于A，B两点，y₂的图象与x轴交于点C，过A作AD⊥x轴于D，若OA=，AD=OD，点B的横坐标为．
（1）求一次函数的解析式及△AOB的面积．
（2）结合图象直接写出：当y₁＞y₂时，x的取值范围．

Answer

（1）由于Rt△AOD中，OA=5，AD=OD，即OD=2AD，根据勾股定理可计算出AD=1，则OD=2，则A点坐标为（-2，1），利用待定系数法先确定反比例函数的解析式为y1=-，利用点B的横坐标为可确定B点坐标为（，-4），然后再利用待定系数法先可确定直线AB的解析式为y2=-2x-3；为了求出△AOB的面积，可先求出C点坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（2）观察函数图象可得到当-2＜x＜0或x＞时，反比例函数图象都在一次函数图象上方，即y1＞y2．
【解析】
（1）如图，连接OB，
在Rt△AOD中，OA=5，AD=OD，即OD=2AD，
∵OD2+AD2=OA2，
∴4AD2+AD2=25，
解得AD=1，则OD=2，
∴A点坐标为（-2，1），
设y1=，把A（-2，1）代入得k=-2×1=-2，
∴反比例函数的解析式为y1=-，
把x=代入得y=-=-4，
∴B点坐标为（，-4）
设直线AB的解析式为y2=ax+b，
把A（-2，1）、B（，-4）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y2=-2x-3；
把y=0代入y=-2x-3得x=-，
∴C点坐标为（-，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=××1+××4=；
（2）当y1＞y2时，x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞．