Question

如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：
①BD是∠ABC的平分线；
②△BCD是等腰三角形；
③△ABC∽△BCD；
④△AMD≌△BCD．
正确的有（ ）个．

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

首先由AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC与∠C的度数，则可求得所有角的度数，可得△BCD也是等腰三角形，则可证得△ABC∽△BCD．
【解析】
∵AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分线；故①正确；
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∴△BCD是等腰三角形，故②正确；
∵∠C=∠C，∠BDC=∠ABC=72°，
∴△ABC∽△BCD，故③正确；
∵△AMD中，∠AMD=90°，△BCD中没有直角，
∴△AMD与△BCD不全等，故④错误．
故选B．