Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x₁，0）和B（x₂，0），与y轴的正半轴交于点C．如果x₁、x₂是方程x²-x-6=0的两个根（x₁＜x₂），且△ABC的面积为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求直线AC和BC的方程；
（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作直线y=m（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知A，B的坐标，易求出三角形ABC的面积以及点C的坐标．易求解析式．
（2）已知A，B，C三点的坐标，易求AC，BC的方程式．
（3）假设存在点R，直线y=m与y轴的交点为点E．证明点P不与点O，C重合，证明△CPQ∽△CAB后解得P，Q的坐标．
【解析】
（1）A（-2，O），B（3，0），
S△ABC=，
∴c=3，C（0，3）．
∴抛物线的解析式是y=-x2+x+3．

（2）由（1）可知，直线AC的方程为y=+3，直线BC的方程为y=-x+3．

（3）假设存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点为E（0，m），
由（1），知AB=5，OC=3．
点P不与点A、C重合，
∴点E（0，m）不与点O、C重合．
∴0＜m＜3．
由于PQ为等腰直角三角形加PQR的一腰，
过点P作PR1⊥x轴于点R1，则∠R1PQ=90°，PQ=PR1=m．
即（3-m）-=m，
解得m=．
∴P（xP，），Q（xQ，），
点P在直线AC上，
解得xP=-，P（-，）．
∴点R1（-，0）．
过点Q作QR2⊥x轴于R2，
同理可求得xQ=，Q（，）．
∴点R2（，0）．验证成立，
当∠PRQ=90°时，PQ=2m，即（3-m）-=2m，
解得m=，此时R的横坐标为[（3-m）+]=，
∴R1（-，0）、R2（，0）、R3（，0）是满足条件的点．