Question

在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°，连接CD，则线段CD的长为    ．

Answer

分①点A、D在BC的两侧，设AD与边BC相交于点E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，再求出BE=DE=AD并得到BE⊥AD，然后求出CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解；②点A、D在BC的同侧，根据等腰直角三角形的性质可得BD=AB，过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，判定△BDE是等腰直角三角形，然后求出DE=BE=2，再求出CE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解析】
①如图1，点A、D在BC的两侧，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=AB=×2=4，
∵∠ABC=45°，
∴BE=DE=AD=×4=2，BE⊥AD，
∵BC=1，
∴CE=BE-BC=2-1=1，
在Rt△CDE中，CD===；
②如图2，点A、D在BC的同侧，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=AB=2，
过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，则△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE=×2=2，
∵BC=1，
∴CE=BE+BC=2+1=3，
在Rt△CDE中，CD===，
综上所述，线段CD的长为或．
故答案为：或．