Question

已知：如图，AC⊙O是的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半径．

Answer

（1）连接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠OCB，推出∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）证△PBO和△ABC相似，得出比例式，代入求出即可．
（1）证明：连接OB，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠ACB，
∵∠PBA=∠ACB，
∴∠PBA=∠OBC，
即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，
∴OB⊥PB，
∵OB为半径，
∴PB是⊙O的切线；

（2）【解析】
设⊙O的半径为r，则AC=2r，OB=R，
∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB，
∴∠POB=∠OBC=∠OCB，
∵∠PBO=∠ABC=90°，
∴△PBO∽△ABC，
∴=，
∴=，
r=2，
即⊙O的半径为2．