Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x-3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；
（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．
【解析】
（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），
将C点坐标（0，-3）代入，得：
a（0+3）（0-1）=-3，解得 a=1，
则y=（x+3）（x-1）=x2+2x-3，
所以抛物线的解析式为：y=x2+2x-3；

（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．
设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得
，解得，
∴直线AC的解析式为：y=-x-3．
设P点坐标为（x，x2+2x-3），则点N的坐标为（x，-x-3），
∴PN=PE-NE=-（x2+2x-3）+（-x-3）=-x2-3x．
∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，
∴S=PN•OA
=×3（-x2-3x）
=-（x+）2+，
∴当x=-时，S有最大值，此时点P的坐标为（-，-）；

（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADE是直角三角形．理由如下：
∵y=x2+2x-3=y=（x+1）2-4，
∴顶点D的坐标为（-1，-4），
∵A（-3，0），
∴AD2=（-1+3）2+（-4-0）2=20．
设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图3①，
由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t-0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，
解得t=，
所以点M的坐标为（0，）；
②当D为直角顶点时，如图3②，
由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t-0）2，
解得t=-，
所以点M的坐标为（0，-）；
③当M为直角顶点时，如图3③，
由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t-0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，
解得t=-1或-3，
所以点M的坐标为（0，-1）或（0，-3）；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADE是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，-）或（0，-1）或（0，-3）．