Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．
（1）求证：∠A=2∠DCB；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

Answer

（1）连接OD，求出∠ODB=90°，求出∠B=30°，∠DOB=60°，求出∠DCB度数，关键三角形内角和定理求出∠A，即可得出答案；
（2）根据勾股定理求出BD，分别求出△ODB和扇形DOE的度数，即可得出答案．
（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O切线，
∴∠ODB=90°，
∴BE=OE=OD=2，
∴∠B=30°，∠DOB=60°，
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC=∠DOB=30°，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴∠A=2∠DCB；

（2）【解析】
∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=2，
∴阴影部分的面积S=S△ODB-S扇形DOE=×2×2-=2-π．