Question

阅读下列材料：
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b．若=，则有结论：MN=．
请根据以上结论，解答下列问题：
如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP₁，PP₂，PP₃，交BC于点P₁，交AB于点P₂，交AC于点P₃．
（1）若点P为线段EF的中点．求证：PP₁=PP₂+PP₃；
（2）若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP₁，PP₂，PP₃的数量关系，并给出证明．

Answer

（1）如答图1所示，作辅助线，由角平分线性质可知ER=ES，FM=FN；再由中位线性质得到FM=2PP3，ER=2PP2；最后，在梯形FMRE中，援引题设结论，列出关系式，化简得到：PP1=PP2+PP3；
（2）如答图2所示，作辅助线，由角平分线性质可知ER=ES，FM=FN；再由相似三角形比例线段关系得到：ER=PP2；FM=PP3；最后，在梯形FMRE中，援引题设结论，列出关系式，化简得到：PP1=PP2+PP3．
（1）证明：如答图1所示，
BE为角平分线，过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER=ES；
CF为角平分线，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM=FN．

点P为中点，由中位线的性质可知：ES=2PP2，FN=2PP3．
∴FM=2PP3，ER=2PP2．
在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，，
根据题设结论可知：
PP1====PP2+PP3．
∴PP1=PP2+PP3．

（2）探究结论：PP1=PP2+PP3．
证明：如答图2所示，
BE为角平分线，过点E作ER⊥BC于点R，ES⊥AB于点S，则有ER=ES；
CF为角平分线，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AC于点N，则有FM=FN．

点P为EF上任意一点，不妨设，则，．
∵PP2∥ES，∴=，∴ES=PP2；
∵PP3∥FN，∴，∴FN=PP3．
∴ER=PP2；FM=PP3．
在梯形FMRE中，FM∥PP1∥ER，，
根据题设结论可知：
PP1====PP2+PP3．
∴PP1=PP2+PP3．