Question

已知抛物线y=x²-2mx+3m²+2m．
（1）若抛物线经过原点，求m的值及顶点坐标，并判断抛物线顶点是否在第三象限的平分线所在的直线上；
（2）是否无论m取任何实数值，抛物线顶点一定不在第四象限？说明理由；当实数m变化时，列出抛物线顶点的纵、横坐标之间的函数关系式，并求出该函数的最小函数值．

Answer

（1）先根据二次函数的顶点坐标公式用m表示出其顶点坐标，由抛物线经过原点可求出m的值，进而得出其顶点坐标，再判断出其顶点坐标是否在y=x上即可；
（2）分别根据当m＞0时，m=0，m＜0时顶点的纵坐标判断出函数图象顶点所在的象限即可，设顶点横坐标为m，纵坐标为n，则n=2m2+2m，再把此式化为顶点式的形式，进而可得出结论．
【解析】
∵y=x2-2mx+3m2+2m=（x-m）2+2m2+2m，
∴抛物线顶点为（m，2m2+2m），
（1）将（0，0）代入抛物线解析式中解得：m=0或m=，
当m=0时，顶点坐标为（0，0）
当m=时，顶点坐标为（，），
∵第三象限的平分线所在的直线为y=x，
∴（0，0）在该直线上，（，）不在该直线上；

（2）∵抛物线顶点为（m，2m2+2m），
∴①当m＞0时，2m2+2m＞0，此时抛物线顶点在第一象限；
②当m=0时，2m2+2m=0，此时抛物线的顶点在原点；
③当m＜0时，若2m2+2m＞0，则顶点坐标在第二象限；若2m2+2m＜0，则顶点坐标在第三象限，
∴m无论为何值抛物线的顶点一定不在第四象限；
设顶点横坐标为m，纵坐标为n，则n=2m2+2m，
∵n=2m2+2m=2（m+）2-
∴当m=-时，n有最小值-．