Question

如图，在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．
（1）若抛物线经过C、D两点，求此抛物线的解析式并判断点B是否在此抛物线上．
（2）若在（1）中的抛物线的对称轴有一点P，使得△PBD的周长最短，求点P的坐标．
（3）若点M为（1）中抛物线上一点，点N为其对称轴上一点，是否存在以点B、C、M、N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）据圆的圆心坐标A（3，0），以及圆的半径，可求出C点的坐标C（8，0），B点的坐标B（-2，0），然后由勾股定理，求出D点的坐标（0，-4），将C，D坐标代入抛物线的解析式中，即可求得抛物线的解析式．将B点代入，即可判断是否在抛物线上．
（2）要使△PBD的周长最短，由于边BD是定值，只需PB+PD最小即可；
（3）此题要分两种情况讨论：①以BC角线的平行四边形，此时MD∥x轴，则M、D的纵坐标相同，由此可求得M点的坐标；
②以BC的平行四边，由于平行四边形是中心对称图形，可求得△ADM≌△ADN，即M、N纵坐标的绝对值相等
【解析】
（1）由已知，得B（-2，0）C（8，0），D（0，-4）
将C、D两点代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为
∵，
∴点B在这条抛物线上．

（2）要使△PBD的周长最短，由于边BD是定值，只需PB+PD最小，
∵点B、C关于对称轴x=3对称，
∴直线CD与对称轴x=3的交点就是所求的点P．
设直线CD的解析式为y=kx+m．将C、D两点代入，得，
解得，
∴直线CD的解析式为当x=3时，，
∴点P的坐标为（3，-2.5）．

（3）存在．
M（-7，），N（3，）或M（13，），N（3，）或M（3，-），N（3，）