Question

如图，△ABC是边长为4的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连结BD，交AC于F．
（1）猜想BD与DE的位置关系，并证明你的结论；
（2）求△BDE的面积S．

Answer

（1）BD与DE垂直，理由为：由平移及等边三角形的性质得到BC=CD，∠BCD=120°，利用等腰三角形的性质及内角和定理求出∠CBD=30°，而∠E=60°，确定出∠BDE为直角，即可得证；
（2）由∠CBD为30°，得到BF为角平分线，利用三线合一得到BF垂直于AC，F为AC的中点，在直角三角形BCF中，由BC与CF长，利用勾股定理求出BF的长，继而确定出BD的长，由平移的性质得到DE=AC，即可求出三角形BDE的面积．
【解析】
（1）垂直，理由为：
由平移的性质得：AB=AC=BC=CE=CD=DE，∠E=∠DCE=∠ABC=60°，
∴∠DCB=120°，
又BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴∠BDE=90°，
∴BD⊥DE；

（2）∵∠CBD=30°，即BF为角平分线，AB=BC，
∴F为AC中点，即FC=2，BF⊥AC，
在Rt△BFC中，根据勾股定理得：BF=2，
∵BC=CD，CF⊥BD，∴F为BD中点，
∴DB=2BF=4，
则S△BDE=•DB•DE=×4×4=8．