Question

如图1，在平面直角坐标系中，点M（0，-3），⊙M与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、E；抛物线y=ax²+（4a-2）x-8（a≠0）经过A、C两点；
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）当a取何值时，抛物线y=ax²+（4a-2）x-8（a≠0）的对称轴与⊙M相切？
（3）如图2，当抛物线的顶点D在第四象限内时，连接BC、BD，且tan∠CBD=．
①试确定a的值；
②设此时的抛物线与x轴的另一个交点是点F，在抛物线的对称轴上找一点T，使|TM-TF|达到最大，并求出最大值．（请在图2中作出点T）

Answer

（1）连接MA，分别求得OC、OM、MC、MA后即可得到点A、B、C的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线的解析式，并表示出其对称轴，根据切线的性质得到a的值即可；
（3）①利用两角的正切值相等可以得到两个角相等，并利用BD⊥AB得到-2+=4并求得a的值即可；
②由对称性知抛物线与x轴的另一个交点F的坐标是（12，0），再由对称性，TF=TA，则|TM-TF|=|TM-TA|≤MA，因此，当点T是MA的延长线与对称轴的交点时，|TM-TF|达到最大，最大值是5；据此可以求得点T的坐标．
【解析】
（1）连接MA，
∵抛物线y=ax2+（4a-2）x-8（a≠0）经过A、C两点；
∴x=0时，y=-8，则C点坐标为：（0，-8），
∵M（0，-3），
∴OM=3，
∴MC=8-3=5，
则MA==5，
∴OA=OB=4，
∴点A、点B、点C的坐标分别是（-4，0）、（4，0）、（0，-8），

（2）∵抛物线y=ax2+（4a-2）x-8（a≠0），
∴它的对称轴是直线：x=-=-2+；
要使抛物线的对称轴与⊙M相切，则-2+=±5，
当a=或a=-时，抛物线的对称轴与⊙M相切；

（3）①在Rt△BOC中，tan∠BCO==，
又∵tan∠CBD=，
∴∠BCO=∠CBD，
∴BD∥OC，
又∵OC⊥AB，
∴BD⊥AB，
即得：-2+=4，
∴a=；
②如图，由对称性，此时，抛物线与x轴的另一个交点F的坐标是（12，0），
由三角形的两边之差小于第三边的性质可知：|TM-TF|≤MF，要使|TM-TF|达到最大，
则点T应在线段MF的延长线，但不可能同时在抛物线的对称轴上，
故达不到最大值是线段MF的长；
而由对称性，TF=TA，则|TM-TF|=|TM-TA|≤MA，
因此，当点T是MA的延长线与对称轴的交点时，|TM-TF|达到最大，最大值是5；
∵BD∥OC，又OA=OB，
∴BT=6，
∴点T的坐标是（4，-6）；[也可求出MA所在直线的一次函数，再求点T坐标]