Question

已知抛物线y_n=-（x-a_n）²+a_n（n为正整数，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n）与x轴的交点为A_n-1（b_n-1，0）和A_n（b_n，0），当n=1时，第1条抛物线y₁=-（x-a₁）²+a₁与x轴的交点为A（0，0）和A₁（b₁，0），其他依此类推．
（1）求a₁，b₁的值及抛物线y₂的解析式；
（2）抛物线y₃的顶点坐标为（______，______）；依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为（______，______）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是______；
（3）探究下列结论：
①若用A_n-1A_n表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出AA₁的值，并求出A_n-1A_n；
②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为点A（0，0）在抛物线y1=-（x-a1）2+a1上，可求得a1=1，则y1=-（x-1）2+1；令y1=0，求得A1（2，0），b1=2；再由点A1（2，0）在抛物线y2=-（x-a2）2+a2上，求得a2=4，y2=-（x-4）2+4．
（2）求得y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．
（3）①由A（0，0），A1（2，0），求得AA1=2；yn=-（x-n2）2+n2，令yn=0，求得An-1（n2-n，0），An（n2+n，0），所以An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n；
②设直线解析式为：y=kx-2k，设直线y=kx-2k与抛物线yn=-（x-n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，联立两式得一元二次方程，得到x1+x2=2n2-k，x1•x2=n4-n2-2k．然后作辅助线，构造直角三角形，求出EF2的表述式为：EF2=（k2+1）[4n2•（1-k）+k2+8k]，可见当k=1时，EF2=18为定值．所以满足条件的直线为：y=x-2．
【解析】
（1）∵当n=1时，第1条抛物线y1=-（x-a1）2+a1与x轴的交点为A（0，0），
∴0=-（0-a1）2+a1，解得a1=1或a1=0．
由已知a1＞0，∴a1=1，
∴y1=-（x-1）2+1．
令y1=0，即-（x-1）2+1=0，解得x=0或x=2，
∴A1（2，0），b1=2．
由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=-（x-a2）2+a2经过点A1（2，0），
∴0=-（2-a2）2+a2，解得a2=1或a2=4，
∵a1=1，且已知a2＞a1，
∴a2=4，
∴y2=-（x-4）2+4．
∴a1=1，b1=2，y2=-（x-4）2+4．

（2）抛物线y2=-（x-4）2+4，令y2=0，即-（x-4）2+4=0，解得x=2或x=6．
∵A1（2，0），
∴A2（6，0）．
由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=-（x-a3）2+a3经过点A2（6，0），
∴0=-（6-a3）2+a3，解得a3=4或a3=9．
∵a2=4，且已知a3＞a2，
∴a3=9，
∴y3=-（x-9）2+9．
∴y3的顶点坐标为（9，9）．
由y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），
依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．
∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，
∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．

（3）①∵A（0，0），A1（2，0），
∴AA1=2．
yn=-（x-n2）2+n2，令yn=0，即-（x-n2）2+n2=0，
解得x=n2+n或x=n2-n，
∴An-1（n2-n，0），An（n2+n，0），即An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n．
②存在．
设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，得b=-2k，
∴y=kx-2k．
设直线y=kx-2k与抛物线yn=-（x-n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，
联立两式得：kx-2k=-（x-n2）2+n2，整理得：x2+（k-2n2）x+n4-n2-2k=0，
∴x1+x2=2n2-k，x1•x2=n4-n2-2k．
过点F作FG⊥x轴，过点E作EG⊥FG于点G，则EG=x2-x1，
FG=y2-y1=[-（x2-n2）2+n2]-[-（x1-n2）2+n2]=（x1+x2-2n2）（x1-x2）=k（x2-x1）．
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，
即：EF2=（x2-x1）2+[k（x2-x1）]2=（k2+1）（x2-x1）2=（k2+1）[（x1+x2）2-4x1•x2]，
将x1+x2=2n2-k，x1•x2=n4-n2-2k代入，整理得：EF2=（k2+1）[4n2•（1-k）+k2+8k]，
当k=1时，EF2=（1+1）（1+8）=18，
∴EF=2为定值，
∴k=1满足条件，此时直线解析式为y=x-2．
∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x-2．