Question

如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．
（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；
（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；
（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN-CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．

Answer

（1）先把点B的坐标代入y=ax2-x+2，可求得a的值，再利用配方法将一般式化为顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；
（2）先由抛物线的解析式y=-x2-x+2，求出与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点C的坐标，再由△AMC与△ABC的面积相等，得出这两个三角形AC边上的高相等，又由点B与点M都在AC的下方，得出BM∥AC，则点M既在过B点与AC平行的直线上，又在抛物线y=-x2-x+2上，所以先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+2，再设直线BM的解析式为y=x+n，将点B（3，0）代入，求出n的值，得到直线BM的解析式为y=x-1，然后解方程组，即可求出点M的坐标；
（3）连接BC并延长，交抛物线的对称轴x=-于点N，连接AN，根据轴对称的性质得出AN=BN，并且根据三角形三边关系定理得出此时d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大．运用待定系数法求出直线BC的解析式，再将x=-代入，求出y的值，得到点N的坐标，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2-x+2经过点B（3，0），
∴9a-×3+2=0，
解得a=-，
∴y=-x2-x+2，
∵y=-x2-x+2=-（x2+3x）+2=-（x+）2+，
∴顶点坐标为（-，）；

（2）∵抛物线y=-x2-x+2的对称轴为直线x=-，
与x轴交于点A和点B，点B的坐标为（3，0），
∴点A的坐标为（-6，0）．
又∵当x=0时，y=2，
∴C点坐标为（0，2）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+2．
∵S△AMC=S△ABC，
∴点B与点M到AC的距离相等，
又∵点B与点M都在AC的下方，
∴BM∥AC，
设直线BM的解析式为y=x+n，
将点B（3，0）代入，得×3+n=0，
解得n=-1，
∴直线BM的解析式为y=x-1．
由，解得，，
∴M点的坐标是（-9，-4）；

（3）在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|AN-CN|的值最大．理由如下：
∵抛物线y=-x2-x+2与x轴交于点A和点B，
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称．
连接BC并延长，交直线x=-于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大．
设直线BC的解析式为y=mx+t，将B（3，0），C（0，2）两点的坐标代入，
得，，
∴直线BC的解析式为y=-x+2，
当x=-时，y=-×（-）+2=3，
∴点N的坐标为（-，3），d的最大值为BC==．