已知抛物线y
n=-(x-a
n)
2+a
n(n为正整数,且0<a
1<a
2<…<a
n)与x轴的交点为A
n-1(b
n-1,0)和A
n(b
n,0),当n=1时,第1条抛物线y
1=-(x-a
1)
2+a
1与x轴的交点为A
(0,0)和A
1(b
1,0),其他依此类推.
(1)求a
1,b
1的值及抛物线y
2的解析式;
(2)抛物线y
3的顶点坐标为(______,______);依此类推第n条抛物线y
n的顶点坐标为(______,______);所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是______;
(3)探究下列结论:
①若用A
n-1A
n表示第n条抛物线被x轴截得的线段长,直接写出A
A
1的值,并求出A
n-1A
n;
②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等?若存在,直接写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.
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某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
(1)操作发现:在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是______(填序号即可)
①AF=AG=
AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME.
(2)数学思考:在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量关系?请给出证明过程;
(3)类比探究:
(i)在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.答:______.
(ii)在三边互不相等的△ABC中(见备用图),仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE,M是BC的中点,连接MD和ME,要使(2)中的结论此时仍然成立,你认为需增加一个什么样的条件?(限用题中字母表示)并说明理由.
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如图1,一辆汽车的背面,有一种特殊性状的刮雨器,忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB,如图2所示,量得连杆OA长为10cm,雨刮杆AB长为48cm,∠OAB=120°.若启动一次刮雨器,雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置,如图3所示.
(1)求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离;(结果精确到0.01)
(2)求雨刮杆AB扫过的最大面积.(结果保留π的整数倍)(参考数据:sin60°=
,cos60°=
,tan60°=
,
≈26.851,可使用科学记算器)
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