由于等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,则△BEC和△DCF都是直角三角形;观察反比例函数图象得反比例解析式为y=;当x=3时,y=3,即BC=CD=3,根据等腰直角三角形的性质得CE=3,CF=3,则C点与M点重合;当y=9时,根据反比例函数的解析式得x=1,即BC=1,CD=9,所以EC=,而EM=3;由于EC•CF=x(6-x)配方得到-2(x-3)2+18,根据二次函数的性质得当0<x<3时,EC•CF的值随x的增大而增大;利用等腰直角三角形的性质BE•DF=BC•CD=xy,然后再根据反比例函数的性质得BE•DF=9,其值为定值.
【解析】
因为等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,所以△BEC和△DCF都是直角三角形;
观察反比例函数图象得x=3,y=3,则反比例解析式为y=;
当x=3时,y=3,即BC=CD=3,所以CE=BC=3,CF=CD=3,C点与M点重合,则EC=EM,所以A选项错误;
当y=9时,x=1,即BC=1,CD=9,所以EC=,而EM=3,所以B选项错误;
因为EC•CF=x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当0<x<3时,EC•CF的值随x的增大而增大,所以C选项错误;
因为BE•DF=BC•CD=xy=9,即BE•DF的值不变,所以D选项正确.
故选D.